八下期末复习系列——综合训练（6）

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【例】在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．

（1）求证：△EMO≌△OND；

（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．

【图文解析】

（1）直接根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”和三角形的中位线定理，再根据外角定理和定理，可以得到两三角形符合“SAS”成立的条件，从而得到证明。如下图示：     

      所以△EMO≌△ONDSAS.

（2）当AB=AC，且∠BAC=40°时，如下图示：

      可连接AO（等腰三角形的“三线合一”），得到AD＝AE：

      得到OD＝OE，DN＝ON＝OM＝EM均等于0.5AB（或0.5AC），同时可设∠DAB＝x⁰，则有：

      下面通过“等角对等边”即AD＝OD，得到关于x的方程，

      首先可直接得到：（如下图示）

在等腰三角形DON中，NO＝NB，∠OND＝2x+40⁰，得到∠DON＝0.5[180⁰-(2x+40⁰)]=70－x⁰，所以∠AOD＝∠AON+∠DON＝70－x⁰+20⁰＝90⁰-x⁰.

      另一方面∠DAO＝x+20⁰.

      因此当∠DAO＝∠AOD时，AD＝OD，再结合已证的OD＝OE、AD＝AE，就可得到四边形ADOE的四边都相等.所以有90-x=x+20，解x=35⁰.

      所以当∠DAB等于35°时，四边形ADOE是菱形．

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【点评】本题的中点较多，除了运用等腰三角形三线合一的性质外，还多次运用了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质．

【拓展】如图，在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．求证：△EMO≌△OND；

 （注意与原题的区别与联系）

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